使用物理信息神经网络求解超声传播中的非线性Westervelt方程

对生物组织中的非线性声波传播进行建模需要保证准确性，这在超声成像和治疗应用中尤为重要。一维 Westervelt 方程 \( p_{xx} - p_{tt} + \gamma\, p_{ttt} + \eta\,(p^{2})_{tt}=0, \) 可用于描述这些组织中的有限振幅超声传播。该方程考虑了非线性 \(\eta\) 与衰减 \(\gamma\)。为求解该方程，我们注意到传统求解器可能难以正确求解，原因在于方程的非线性本质所带来的困难。我们通过定义三个合成算例——线性（\(\eta=0.001\)，\(\gamma=10^{-6}\)）、激波主导（\(\eta=0.02\)，\(\gamma=10^{-6}\)）和耗散主导（\(\eta=0.01\)，\(\gamma=5\times10^{-4}\)）——并使用物理信息神经网络（PINNs）来展示求解过程。采用正弦激活函数以捕捉问题的振荡行为。我们的研究结果表明，在 \(30,000\) 个 epoch 下，每个算例的 PDE 残差至少收敛至 \(10^{-6}\)，边界条件损失收敛至 \(10^{-5}\)，PINN 损失收敛至 \(10^{-5}\)，并且 \(\gamma\) 决定振幅衰减的速率，而 \(\eta\) 支配依赖频率的相速度。

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