诊断随机动力学中的参数不可辨识性并应用于集群模型

尽管在活性物质物理和数学生物学中，集群行为已被广泛研究，但评估参数可估计性的方法仍不完善。对于以随机微分方程（SDE）形式建立的模型，我们开发了一个基于 Hessian 的诊断框架，用于检测不可辨识方向，并指示估计精度能否以及如何得到改善。该框架利用损失函数 Hessian 的次鞅结构，并随时间追踪其最小特征值。在时间平均 Hessian 收敛的条件下，我们证明：对于可辨识模型，该特征值线性增长；而对于不可辨识模型，它仅以次线性方式增长，即 $o(t)$；对于某一特定类型的参数冗余，这一 $o(t)$ 界可收紧为 $o(\sqrt{t}\log t)$。将该框架应用于随机集群模型，我们证明在可辨识情形下，特征值的大小反映了可达到的估计精度。我们进一步揭示了不可辨识性的一种物理机制：当系统趋近有序态时，参数变得代数退化，尽管模型并不包含平凡冗余。因此，可辨识性取决于动力学区域，而不仅仅是模型结构。我们的框架为可靠的参数估计提供了一种实用工具，不仅适用于集群模型，也适用于跨多个领域的 SDE 模型。

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