截断 sinc 幂核与脉冲串核的谱区制：边缘指数、逐边骤降与 Landau-Widom 极限

一个被限制在一个矩形频带内并通过有限窗观测的信号，是 Slepian、Landau、Pollak 和 Widom 的经典集中问题。该算子的特征值聚集在 1 附近和 0 附近，二者之间由一个称为 plunge 的过渡区隔开。plunge 的宽度随窗长的对数增长，其普适系数为 1/π²，由带边跳变决定。本文追踪频带变形时这些聚集簇与 plunge 的变化。对核逐元素取幂会平滑带边，plunge 让位于指数比幂次小 1 的幂律边缘。不相交的频带副本会按带边数量成比例地加宽 plunge，正如 Landau 和 Widom 的多区间定理所蕴含的，因此该系数是逐边常数。将每个频带收缩为一条线，便得到经典的有限秩算子。重叠频带给出多级阶梯，而自相似频带给出由 Cantor 维数支配的聚集簇层级。在平滑边缘处，重标度后的特征值不会坍缩到同一条曲线上。边缘描述符从常数过渡到指数，再到整数，最后到分形维数。对于单频带，经典结果将所有特征滤波器零点置于单位圆上，且随着阶数升高，带内零点更多，因此主导特征向量起到低通滤波器的作用。

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